20 grudnia 2021

Figlaszki probabilistyczne Misia Tej Gry

Przedział na osi czasu Mikołajki - Gwiazdka to okres prezentowy, więc Miś Tej Gry wyasygnował pewną kwotę, aby komuś jakiś podarek sprawić. Nie miało to jednak być tak po prostu, tak tylko wziąć i dać, tylko miała temu towarzyszyć zabawa, taka bardziej edukacyjna zresztą. Przybrało to postać dwóch figlaszków, oto one:
Figlaszek pierwszy
Do jednego z trzech pudełek Miś Tej Gry wziął i włożył prezent, zupełnie randomowo. Pudełka zamknął, oznaczył literami A, B oraz C, tak dla własnej orientacji, po czym poprosił jakiegoś tam wyznaczonego gocka, aby ten wylosował, który box ów prezent zawiera. Gocek nie mając żadnej innej przesłanki wykonał również randomową decyzję, po której kandydatem okazał się box A. Gdyby tam był prezent, gocek mógłby go sobie wziąć. Ale Miś Tej Gry opóźnił na chwilę otwarcie boxa, zaproponował gockowi zmianę zdania, przy okazji też otworzył był box C, który okazał się być pusty. Co powinien zrobić gocek, jaka jest lepsza strategia, aby zwiększyć szansę otrzymania prezentu? Czy ma zmienić zdanie, czy trwać przy pierwotnym? Drugie pytanie to dlaczego tak powinien zrobić?
Figlaszek ten jest znany pod oficjalną nazwą "Paradoks Monty Halla" od nazwiska prowadzącego pewien teleturniej, w którym opisany motyw ma miejsce. Kiedyś była też nadawana polska wersja show zwana "Idź na całość". De facto nie jest to żaden paradoks, wystarczy tylko pewne pojęcie na temat rachunku prawdopodobieństwa, ale nie spojlerujmy puenty.
Sytuacja wygląda tak, że są teraz tylko dwa pudełka, każde może zawierać prezent. Kwestia jest tylko, jaki jest rozkład szans na jego trafienie. Na chłopski rozum P(A) = 1/2 oraz P(B) = 1/2, czyli nie ma znaczenia, czy gocek zmieni zdanie, czy też pozostanie przy pierwszej myśli. Fajnie, pięknie, tylko że to wcale bynajmniej tak nie jest. Zacznijmy od początku. Szanse na prezent w kolejnych boxach są równe: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3. Popatrzmy jednak na boxy B i C jak na taki jeden sumaryczny boks, który ma dwie przegródki. Jaka jest szansa, że prezent zajmuje ten oto właśnie overbox? Problem to trywialny: P(B+C) = P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 2/3. Po otwarciu jednej przegródki C overboxa B+C rozkład prawdopodobieństwa pozostaje ten sam, nic się nie zmienia. P(A) = 1/3, P(B) = 2/3, tak więc gocek zwiększy swoje szanse na prezent zmieniając pierwotny wybór.
Nie każdy może się czuć przekonany, sugestia dwóch możliwości równo prawdopodobnych bywa nieraz bardzo silna. Spróbujmy tedy innej wersji figlaszka. Bierzemy talię kart, może być duża, brydżowa (52 sztuki), może być średnia, skatowa (32 sztuki), ale najwygodniej będzie użyć małej, mariaszowej (24 sztuki). Tasujemy, po czym gocek losuje jedną kartę aby trafić na przykład dupcię kier. Szansa na to wynosi 1/24. Karty jeszcze nie odkrywamy, za to Miś Tej Gry ogląda resztę i odkrywa wszystkie na stole poza jedną. Jednak żadna odkryta nie jest frelką czerwienną, tedy powstaje pytanie, jaki jest rozkład szans na nią pomiędzy dwoma zakrytymi kartami: tą pierwszą wylosowaną oraz tą ostatnią, nie pokazaną. Kto zatrybił, ten już wie: nic się nie zmieniło, P(first) = 1/24, P(last) = 23/24. Koniec figlaszka.
Figlaszek drugi
Pozornie podobny jest do pierwszego, ale tylko pozornie, gdyż jest to inna bajka z o wiele wyższej półki. Oficjalna nazwa to "Paradoks (lub problem) dwóch kopert" i jest na tyle trudny, że faktycznie wygląda na paradoks. Na jego temat powstało co nieco opracowań do znalezienia w necie, polskich może niewiele, ale po angielsku już więcej. Niektóre aby rzecz rozpracować sięgają po grubą artylerię, taką jak teoria gier, czy teoria decyzji. Do tej pory nie ma jednoznacznego werdyktu, czy temat został rozkminiony do spodu. Oto poniżej rzeczony figlaszek:
Miś Tej Gry postanowił obdarować kogoś gotówką, na ten cel wyasygnował pewną kwotę, po czym podzielił ją na trzy równe części. Jedną włożył do jednego pudełka, dwie do drugiego, po czym tak zamieszał, że sam nie wie, gdzie co jest. Oryginalna wersja to koperty, ale skoro wcześniej były boxy, to niech tak już zostanie. Gocek ma wybrać jeden box, robi to rzecz jasna randomowo, po czym zanim go otworzy Miś Tej Gry proponuje dil: zamianę boxów. Co robić? Można zadowolić się tym prezentem, ale można jednak zaryzykować jakąś stratę dla jakiegoś zysku. Gocek słyszał coś na temat wartości oczekiwanej, więc liczy tak:
K - kasa, którą już ma.
2K - kasa, którą może mieć, jeśli bogini Dola go lubi.
K/2 - kasa, która mu zostanie, jeśli Dola go nie lubi.
Szansa na jedno, jak i na drugie jest taka sama, czyli 1/2.
Średnie zasoby gocka po zamianie:
E = 1/2*2K + 1/2*K/2 = 5/4K.
Wygląda więc na to, że warto pójść na propozycję Misia Tej Gry, ale tuż po realizacji dilu pada ponowna, identyczna. Co prawda nowy box nie otwarty, ale co szkodzi znowu policzyć wszystko jeszcze raz, po czym okazuje się, że znowu warto się zamienić. Co więcej, po tej drugiej zamianie warto dokonać trzeciej, potem czwartej, et caetera ad mortem defecatum. Pora przerwać to błędne koło otwierając pudełko po zamianie. Zawiera ono jakąś konkretną sumę K dutków, nadal jednak nie wiadomo, czy to ta mniejsza, czy ta większa. Do tego jeszcze, zanim doszło do tego otwarcia, Miś Tej Gry zaproponował kolejną zamianę. Po otwarciu już nie mógł za bardzo, gdyż znając teraz lokalizację kasy mógłby ściągnąć na siebie podejrzenie, że podpuszcza gocka sterując go na minę gorszej opcji. Gocek się decyduje na zamianę po kolejnych takich samych rachunkach, być może pozna całą prawdę, być może nie, nas to jednak już nie obchodzi. Skupmy się na tym tylko, czy gocek prawidłowo rozumował? Absurdalność tej całej sytuacji sugeruje, że jednak nie. Ale co w takim razie jest nie tak? Choć nikt tak tego nie ujął, nigdzie tego nie znalazłem, to moja opinia jest taka, że gocek źle określił zmienną losową, że taka zmienna po prostu nie ma sensu, więc cała wartość oczekiwana też go nie ma. Przyjrzyjmy się sprawie jeszcze raz od nowa, od samego początku:
Miś Tej Gry rozdzielił do boksów pewną sumę dutków, nazwijmy ją sobie S. Tu drobna uwaga techniczna: S musi być podzielne przez sześć aby mniejsza część była liczbą parzystą. Inaczej bowiem, jeśli gocek na nią trafi, to od razu będzie dlań jasne, ile zawiera drugi box. Aczkolwiek jest to tylko drobny niuans nie będący sednem sprawy, raczej dodatkowa ciekawostka taka. Czyli mamy tak: jeden boks zawiera S/3 dutków, drugi zaś 2S/3. Gocek losuje boks, można nawet dla sportu policzyć, że zawiera on teoretycznie średnio S/2 dutków, ale już nie komplikujmy sprawy. Jeśli gocek zdecyduje się zachować go, nie zamieniać, to temat się kończy, nie ma sensu nic liczyć. Ale jeśli zdecyduje inaczej, to można rozważać zmienną losową, zabawne zaś jest to, że losowanie już nastąpiło. Finalne rozwiązanie jest tak proste, że aż niewiarygodne:
Po losowaniu gocek już ma jakąś sumę na własność. Zmienną losową jest jego zysk lub strata, zależnie od tego, na którą część dutków trafił. Jeśli to było S/3, to po zamianie zyska 2S/3 - S/3 = S/3. Jeśli to było 2S/3, to jego zysk wyniesie S/3 - 2S/3 = -S/3, czyli straci innymi słowy. Szansa zaistnienia jednej lub drugiej opcji wynosi 1/2, więc liczymy jego średni zysk, wartość oczekiwaną fachowo rzecz nazywając:
1/2*S/3 + 1/2*(-S/3) = S/6 - S/6 = O (zero).
To wszystko oznacza, że gocek może się zamienić, może nie zamienić, matematycznie jest to bez znaczenia, co najwyżej fizjologicznie pod kątem adrenaliny, którą może sobie zafundować lub nie zafundować. Ale to już nas za bardzo nie interesuje od tejże matematycznej strony.
Tak prywatnie od siebie przyznam, że nie wiem, czy to rozwiązanie mnie satysfakcjonuje. Mam bowiem takie poczucie istnienia jakiejś dziury w tym rozumowaniu. Ale być może to tylko złudzenie, ten problem po prostu tak ma, taki swój urok? Może też dlatego jest taki sławny?
= = = = = = = = =
Tymczasem zaś jutro, we wtorek 21-go grudnia, o godzinie 16:59 /tak z grubsza, z dokładnością do minut/ zaczynają się Święta, kto lubi figlaszki matematyczne, szczególnie probabilistyczne, ten być może znajdzie chwilę, aby zająć się wspomnianymi powyżej, a kto nie, to tys piknie, pozostaje jedynie urbi, pago et orbi, szczególnie zaś Kawiarni życzyć jak poniżej:
ROŚNIJCIE W SIŁĘ I BAWCIE SIĘ DOBRZE 😺

35 komentarzy:

  1. Z tego wszystkiego zrozumiałam, że to miały być życzenia świąteczne tudzież propozycja miłego spędzenia czasu w święta :) Życzenia odwzajemniam, propozycji żadnych nie mam ;)
    PS
    Po odrzuceniu pudełka C (nie bierze już udziału w kalkulacji wygranej) powstaje nowa sytuacja i wygrana jest 50%towa w obu przypadkach. Czy gracz zmieni zdanie, czy nie, ryzykuje tak samo.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. uczestnik teleturnieju raczej nic nie ryzykuje, każdy płaci sam za przejazd na miejsce nagrania, chyba że organizator zwraca te koszta każdemu, kto trafi jakiś prezent, to odrobinę zmienia postać rzeczy...
      ale mniejsza z tym...
      widzę, że nie dotarło, urok spektaklu przysłonił treść, bo właśnie wcale tak nie jest, jak piszesz... bardzo chętnie usiądę do takiej gry: gocek nie zmienia zdania po otwarciu trzeciego pudełka /bo przecież ponoć 50% vs. 50%/ i popiera to ustaloną stawką... ja mu zapłacę drugie tyle, gdy trafi prezent, a zainkasuję jego stawkę, gdy nie trafi...

      Usuń
  2. Takich gier jest mnóstwo i zawsze denerwują mnie setki pytań typu: czy na pewno, a może jednak, na pewno? może zmienisz zdanie, na pewno? może jednak inne pudełko...
    pomysły masz dobre, ale od matematyki zawsze bolała mnie głowa, dlatego nie zostałam księgową, w dodatku w pracy mam inwentaryzację!

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. rachunki to też jakaś matematyka, ale taka z niższej półki... aczkolwiek sztuka migania się od podatków to bardzo cenna, godna szacunku umiejętność...

      Usuń
  3. Bardzo ciekawe. Pierwszy figlaszek został zaprezentowany w filmie "21" (całkiem niezły), gdy wykładowca matematyki grany przez Kevina Spacey zadał to pytanie studentom licząc, że wyłowi kogoś do zespołu, który "oszukuje" kasyna w grę 21.
    Co do reszty, to przypomniała mi się (nadal dostępna) książka "Rozum na manowcach", gdzie autor pokazuje nam nie racjonalne decyzje proponując w zamian zdobycze matematyki (głównie rach. prawdop). 23 lata temu ją czytałem a nadal pamiętam jakie zakłady i wybory są opłacalne.
    Przyznam, że tę drugą fiszkę muszę poczytać chyba kilka razy. Nie te lata, nie ta koncentracja.
    Pozdrawiam

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. film kojarzę, ale detali już nie pamiętam... motyw "ogrywania" kasyna w black jacka był też na "Rainmanie" /Dustin Hoffman, Tom Cruise/... jedno i drugie ociera się o s-f, bo choć istnieje prosty sposób, tabelka strategii w zależności od pierwszej karty wylosowanej przez krupiera, to i tak gra ma niezerową sumę /na korzyść kasyna/, więc wygrana w dłuższym dystansie jest mało prawdopodobna, Prawo Wielkich Liczb nie zna litości... ale to już wiesz...
      pozdrawiam :)

      Usuń
  4. Zmęczyłam się samym czytaniem. Zazwyczaj kiedy coś wybiorę, to przy tym obstaję. I wybieram raczej intuicyjnie.
    Spokojnych Świąt Misiu tej gry:):):):)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Ja podobnie. Nie ten mózg.
      Wszystkiego dobrego we wszystkich pudełkach.

      Usuń
    2. intuicji warto słuchać, problem tylko czasem w zrozumieniu jej języka, bo gada po swojemu...
      spokojnych i wszystkiego :)

      Usuń
  5. Pierwszy kiedyś analizowałem dokładnie, zwłaszcza po tym, jak Pogromcy Mitów udowodnili ten paradoks empirycznie. Co do drugiego - wybacz, ale zostawię go sobie na później, bo nie mam dziś głowy do rozwiązywania takich zagadek.
    Zaś co do Świąt, a w zasadzie święta - czy w dawnych czasach istniały na tych ziemiach aż tak dokładne kalendarze?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. empirycznie tez można to testować, po odpowiedniej ilości prób wynik powinien się objawić...
      jak do tej pory nie odkryto w Polsce narzędzi typu obiekt w Stonehedge... badacze tematu twierdzą, że wiele zależało od tego, czy wioskowy żerca był łebski, czy nie, w tym drugim przypadku faktycznie zdarzało się obchodzić jakieś święta z drobnym poślizgiem lub wyprzedzeniem czasowym...
      obecni polscy rodzimowiercy również nie przestrzegają zbytnio dat astronomicznych, oficjalne obchody ze względów praktycznych zwykle mają miejsce w najbliższy weekend :)

      Usuń
  6. Twój tekst jest trudny dla wielu osób, ponieważ mało ludzi zna język matematyczny i potrafi myśleć matematycznie. A nie potrafi, bo tego szkoła nie uczy. Jak w szkole rozwiążesz zadanie matematycznie nie tym sposobem, mimo że jest poprawnie rozwiązane możesz dostać ocenę niedostateczną. Więc cóż się dziwo brakom matematycznym we współczesnym świecie i to dotyczy wszystkich krajów na świecie .
    Dość dobrym rozwiązaniem tego problemu byłaby metoda Komuna podaje ci linki może cię zainteresuje.

    https://pl.kumon.eu/
    https://www.monitorlocalnews.com/2005_07_06_kumon_matematyka_inaczej
    http://www.gazetafenestra.pl/2020/03/japonski-sekret-sukcesu-czyli-o-metodzie-kumon/
    https://lubimyczytac.pl/ksiazka/290082/glowa-do-liczb


    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. kwestia nauczyciela: jeden za rozwiązanie oryginalną, pomysłową metodą postawi szóstkę, drugi wlepi jedynkę i faktycznie te drugie przypadki często się zdarzają...
      ...
      zainteresowało, zapoznam się...

      Usuń
  7. Nie dałem rady ... logarytmowałem, całkowałem ... i tak w kółko. W okresie przed i po świątecznym jestem humanistą. Zajrzę jeszcze jak będę trzeźwiał, ostatecznie matematyka to moje hobby. Tymczasem (tym czasem?)życzę Ci Piotrze abyś płynnie spędził te święta w zdrowiu i spokoju.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. no tak, w warunkach świątecznych można tylko dzielić przez zero :)

      Usuń
  8. Nie no na trzeźwo chyba nie ogarnę. Ale mogę udawać, że tak i jak ktoś mnie kiedyś zapyta, które pudełko wybieram, odpowiem mu: czekaj, liczę 🙃. Mimo wszystko trzeba się w takich sytuacjach zdać na szczęście... Raczej 😅.
    Dobrze, że nie planuję udziału w teleturniejach, a prezenty pod choinką były podpisane 😁.

    OdpowiedzUsuń
  9. Jako, że matematyka nie jest mocną stronę, wielbię Wszechświat za obdarowanie mnie kobiecą intuicją :)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. wbrew pozorom do matematyki też trzeba intuicji, mowa jest rzecz jasna o Matematyce, a nie o jakimś tam rachowaniu :)

      Usuń
  10. Matematyka to nie moja bajka. Ale z pierwszą zagadką może wiązać się to, że jeśli coś zdobędziemy to chcemy więcej i więcej. A potem zostajemy z Zonkiem (tak się chyba nazywał ten kot w worku) czy innymi przykrymi konsekwencjami.

    Teraz przyszedł taki czas, że więcej pogrzebów i informacji zewsząd o śmierci. Może kolejne miesiące przyniosą jakieś zmiany? Ja tam na innych nie patrzę, wybieram medyczne rozwiązania i już nie mogę się doczekać na trzecią dawkę szczepionki. Na razie tylko w tym widzę jakiś sens i nadzieję.

    Jako tako uratowane jest to co w kolanie się zepsuło. Cały zabieg ograniczył się do wycięcia fragmentu łąkotki i zrostów, które porobiły się od uszkodzenia. Czyli ogólnie nie jest tak źle.

    Ciekawa sprawa, tylko ja byłem właściwie uwięziony na oddziale rehabilitacyjnym. Niby można się było kręcić na dworze, jednak nie czułem się jeszcze wtedy na tyle mocny, aby próbować tego. :)

    Pozdrawiam!
    https://mozaikarzeczywistosci.blogspot.com

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. trochę psychologii faktycznie jest w obu figlaszkach, w obu przewija się wątek prowokacji chciwości...
      pozdrawiam! :)

      Usuń
    2. Czyli element łechtania ego, chciwości i tego typu próżnych chuci. :) Najlepsze jest, gdy przy sprzyjających okolicznościach na sobie samym człowiek się przekonuje, że też takie inklinacje ma. Ale tak już chyba jesteśmy skonstruowani.

      Pozdrawiam!

      Usuń
  11. Dopiero teraz usiłowałam to przeczytać....
    Powiem Ci że zrozumienie średnio mi wyszło bo do dziś nie wiem jak to się stało że kiedyś zdałam maturę z matemetyki....

    OdpowiedzUsuń
  12. SUPER! Najbardziej oryginalne życzenia świąteczne, jakie czytałam. Łamanie głowy wyjdzie mi na samo dobre, rozrusza neurony i odświeży pamięć. :-)
    Serdeczności w Nowym Roku

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. dobrze przy tym robi siemię konopne popijane zacnym miodem, oleum z ziaren jako lżejsze idzie do góry i smaruje neurony...
      serdeczności :)

      Usuń
  13. Hepi Nju Jer Waćpanu! (czytanie nadrobię po urlopie) ;)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. bywają lektury przedurlopowe, bywają lektury urlopowe, bywają lektury pourlopowe, wybór należy do Ciebie :)

      Usuń
  14. Kusisz...kusisz aby łamać sobie głowę;
    a czy uwzględniasz jakąś podpowiedź?
    Ta gra skojarzyła mi się z grą o sejfy [RMF]
    ale...czy warto tak ryzykować ?
    w końcu głowę mam tylko jedną,
    co będzie jak sobie ją połamię?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. kiedyś głowa poszłaby by w gips, teraz wymieniają od ręki na endoprotezę ze sztuczną inteligencją...
      ale podobno najlepsze są domowe sposoby...

      Usuń
  15. O fajna gra. Trochę winka, na pewno pomogłoby w lepszym zrozumieniu całości.

    OdpowiedzUsuń
  16. Probablistyka nigdy nie była moją mocną stroną - zawsze musiałem najpierw się obryć, a potem wyrobić automatyczną reakcję, bo gdy zaczynałem sam kombinować, to łapałem się na każdy haczyk i paradoks. Co ciekawe..., mój rodzony brat jest w tym świetny, wręcz rzuca się na każdy problem życiowy, który zahacza o probablistykę. Statystyka go już tak nie kręciła, bo tam najpierw trzeba dotrzeć do badań, by zacząć coś przetwarzać, zweryfikować je, oszacować możliwe błędy.... Twoja zabawa opiera się oczywiście na prawdopodobieństwie warunkowym. Każdy uczeń ogólniaka musi to zaliczyć, mało który to zapamiętuje.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. prawdziwa zabawa zaczyna się, gdy wkraczamy w świat nieskończoności, choćby taka "ruletka":
      bierzemy odcinek [0,x] (x - dowolna liczba dodatnia), "zawijamy" go w okrąg i łączymy końce... każdy punkt na okręgu zachowuje swoją wartość pierwotną... potem losowo strzelamy punktem ze środka, jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi on w liczbę wymierną?...

      Usuń
  17. Hej, wszystko u Ciebie w porządku? Bo coś długo milczysz.

    OdpowiedzUsuń