20 grudnia 2021

Figlaszki probabilistyczne Misia Tej Gry

Przedział na osi czasu Mikołajki - Gwiazdka to okres prezentowy, więc Miś Tej Gry wyasygnował pewną kwotę, aby komuś jakiś podarek sprawić. Nie miało to jednak być tak po prostu, tak tylko wziąć i dać, tylko miała temu towarzyszyć zabawa, taka bardziej edukacyjna zresztą. Przybrało to postać dwóch figlaszków, oto one:
Figlaszek pierwszy
Do jednego z trzech pudełek Miś Tej Gry wziął i włożył prezent, zupełnie randomowo. Pudełka zamknął, oznaczył literami A, B oraz C, tak dla własnej orientacji, po czym poprosił jakiegoś tam wyznaczonego gocka, aby ten wylosował, który box ów prezent zawiera. Gocek nie mając żadnej innej przesłanki wykonał również randomową decyzję, po której kandydatem okazał się box A. Gdyby tam był prezent, gocek mógłby go sobie wziąć. Ale Miś Tej Gry opóźnił na chwilę otwarcie boxa, zaproponował gockowi zmianę zdania, przy okazji też otworzył był box C, który okazał się być pusty. Co powinien zrobić gocek, jaka jest lepsza strategia, aby zwiększyć szansę otrzymania prezentu? Czy ma zmienić zdanie, czy trwać przy pierwotnym? Drugie pytanie to dlaczego tak powinien zrobić?
Figlaszek ten jest znany pod oficjalną nazwą "Paradoks Monty Halla" od nazwiska prowadzącego pewien teleturniej, w którym opisany motyw ma miejsce. Kiedyś była też nadawana polska wersja show zwana "Idź na całość". De facto nie jest to żaden paradoks, wystarczy tylko pewne pojęcie na temat rachunku prawdopodobieństwa, ale nie spojlerujmy puenty.
Sytuacja wygląda tak, że są teraz tylko dwa pudełka, każde może zawierać prezent. Kwestia jest tylko, jaki jest rozkład szans na jego trafienie. Na chłopski rozum P(A) = 1/2 oraz P(B) = 1/2, czyli nie ma znaczenia, czy gocek zmieni zdanie, czy też pozostanie przy pierwszej myśli. Fajnie, pięknie, tylko że to wcale bynajmniej tak nie jest. Zacznijmy od początku. Szanse na prezent w kolejnych boxach są równe: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3. Popatrzmy jednak na boxy B i C jak na taki jeden sumaryczny boks, który ma dwie przegródki. Jaka jest szansa, że prezent zajmuje ten oto właśnie overbox? Problem to trywialny: P(B+C) = P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 2/3. Po otwarciu jednej przegródki C overboxa B+C rozkład prawdopodobieństwa pozostaje ten sam, nic się nie zmienia. P(A) = 1/3, P(B) = 2/3, tak więc gocek zwiększy swoje szanse na prezent zmieniając pierwotny wybór.
Nie każdy może się czuć przekonany, sugestia dwóch możliwości równo prawdopodobnych bywa nieraz bardzo silna. Spróbujmy tedy innej wersji figlaszka. Bierzemy talię kart, może być duża, brydżowa (52 sztuki), może być średnia, skatowa (32 sztuki), ale najwygodniej będzie użyć małej, mariaszowej (24 sztuki). Tasujemy, po czym gocek losuje jedną kartę aby trafić na przykład dupcię kier. Szansa na to wynosi 1/24. Karty jeszcze nie odkrywamy, za to Miś Tej Gry ogląda resztę i odkrywa wszystkie na stole poza jedną. Jednak żadna odkryta nie jest frelką czerwienną, tedy powstaje pytanie, jaki jest rozkład szans na nią pomiędzy dwoma zakrytymi kartami: tą pierwszą wylosowaną oraz tą ostatnią, nie pokazaną. Kto zatrybił, ten już wie: nic się nie zmieniło, P(first) = 1/24, P(last) = 23/24. Koniec figlaszka.
Figlaszek drugi
Pozornie podobny jest do pierwszego, ale tylko pozornie, gdyż jest to inna bajka z o wiele wyższej półki. Oficjalna nazwa to "Paradoks (lub problem) dwóch kopert" i jest na tyle trudny, że faktycznie wygląda na paradoks. Na jego temat powstało co nieco opracowań do znalezienia w necie, polskich może niewiele, ale po angielsku już więcej. Niektóre aby rzecz rozpracować sięgają po grubą artylerię, taką jak teoria gier, czy teoria decyzji. Do tej pory nie ma jednoznacznego werdyktu, czy temat został rozkminiony do spodu. Oto poniżej rzeczony figlaszek:
Miś Tej Gry postanowił obdarować kogoś gotówką, na ten cel wyasygnował pewną kwotę, po czym podzielił ją na trzy równe części. Jedną włożył do jednego pudełka, dwie do drugiego, po czym tak zamieszał, że sam nie wie, gdzie co jest. Oryginalna wersja to koperty, ale skoro wcześniej były boxy, to niech tak już zostanie. Gocek ma wybrać jeden box, robi to rzecz jasna randomowo, po czym zanim go otworzy Miś Tej Gry proponuje dil: zamianę boxów. Co robić? Można zadowolić się tym prezentem, ale można jednak zaryzykować jakąś stratę dla jakiegoś zysku. Gocek słyszał coś na temat wartości oczekiwanej, więc liczy tak:
K - kasa, którą już ma.
2K - kasa, którą może mieć, jeśli bogini Dola go lubi.
K/2 - kasa, która mu zostanie, jeśli Dola go nie lubi.
Szansa na jedno, jak i na drugie jest taka sama, czyli 1/2.
Średnie zasoby gocka po zamianie:
E = 1/2*2K + 1/2*K/2 = 5/4K.
Wygląda więc na to, że warto pójść na propozycję Misia Tej Gry, ale tuż po realizacji dilu pada ponowna, identyczna. Co prawda nowy box nie otwarty, ale co szkodzi znowu policzyć wszystko jeszcze raz, po czym okazuje się, że znowu warto się zamienić. Co więcej, po tej drugiej zamianie warto dokonać trzeciej, potem czwartej, et caetera ad mortem defecatum. Pora przerwać to błędne koło otwierając pudełko po zamianie. Zawiera ono jakąś konkretną sumę K dutków, nadal jednak nie wiadomo, czy to ta mniejsza, czy ta większa. Do tego jeszcze, zanim doszło do tego otwarcia, Miś Tej Gry zaproponował kolejną zamianę. Po otwarciu już nie mógł za bardzo, gdyż znając teraz lokalizację kasy mógłby ściągnąć na siebie podejrzenie, że podpuszcza gocka sterując go na minę gorszej opcji. Gocek się decyduje na zamianę po kolejnych takich samych rachunkach, być może pozna całą prawdę, być może nie, nas to jednak już nie obchodzi. Skupmy się na tym tylko, czy gocek prawidłowo rozumował? Absurdalność tej całej sytuacji sugeruje, że jednak nie. Ale co w takim razie jest nie tak? Choć nikt tak tego nie ujął, nigdzie tego nie znalazłem, to moja opinia jest taka, że gocek źle określił zmienną losową, że taka zmienna po prostu nie ma sensu, więc cała wartość oczekiwana też go nie ma. Przyjrzyjmy się sprawie jeszcze raz od nowa, od samego początku:
Miś Tej Gry rozdzielił do boksów pewną sumę dutków, nazwijmy ją sobie S. Tu drobna uwaga techniczna: S musi być podzielne przez sześć aby mniejsza część była liczbą parzystą. Inaczej bowiem, jeśli gocek na nią trafi, to od razu będzie dlań jasne, ile zawiera drugi box. Aczkolwiek jest to tylko drobny niuans nie będący sednem sprawy, raczej dodatkowa ciekawostka taka. Czyli mamy tak: jeden boks zawiera S/3 dutków, drugi zaś 2S/3. Gocek losuje boks, można nawet dla sportu policzyć, że zawiera on teoretycznie średnio S/2 dutków, ale już nie komplikujmy sprawy. Jeśli gocek zdecyduje się zachować go, nie zamieniać, to temat się kończy, nie ma sensu nic liczyć. Ale jeśli zdecyduje inaczej, to można rozważać zmienną losową, zabawne zaś jest to, że losowanie już nastąpiło. Finalne rozwiązanie jest tak proste, że aż niewiarygodne:
Po losowaniu gocek już ma jakąś sumę na własność. Zmienną losową jest jego zysk lub strata, zależnie od tego, na którą część dutków trafił. Jeśli to było S/3, to po zamianie zyska 2S/3 - S/3 = S/3. Jeśli to było 2S/3, to jego zysk wyniesie S/3 - 2S/3 = -S/3, czyli straci innymi słowy. Szansa zaistnienia jednej lub drugiej opcji wynosi 1/2, więc liczymy jego średni zysk, wartość oczekiwaną fachowo rzecz nazywając:
1/2*S/3 + 1/2*(-S/3) = S/6 - S/6 = O (zero).
To wszystko oznacza, że gocek może się zamienić, może nie zamienić, matematycznie jest to bez znaczenia, co najwyżej fizjologicznie pod kątem adrenaliny, którą może sobie zafundować lub nie zafundować. Ale to już nas za bardzo nie interesuje od tejże matematycznej strony.
Tak prywatnie od siebie przyznam, że nie wiem, czy to rozwiązanie mnie satysfakcjonuje. Mam bowiem takie poczucie istnienia jakiejś dziury w tym rozumowaniu. Ale być może to tylko złudzenie, ten problem po prostu tak ma, taki swój urok? Może też dlatego jest taki sławny?
= = = = = = = = =
Tymczasem zaś jutro, we wtorek 21-go grudnia, o godzinie 16:59 /tak z grubsza, z dokładnością do minut/ zaczynają się Święta, kto lubi figlaszki matematyczne, szczególnie probabilistyczne, ten być może znajdzie chwilę, aby zająć się wspomnianymi powyżej, a kto nie, to tys piknie, pozostaje jedynie urbi, pago et orbi, szczególnie zaś Kawiarni życzyć jak poniżej:
ROŚNIJCIE W SIŁĘ I BAWCIE SIĘ DOBRZE 😺